GermanWikipedia - /page/entry.mu

Micron Document

<!DOCTYPE html>

<title>Dreikörperproblem</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Dreikörperproblem</span></h1>

</header>

</div>

<p>Das <b>Dreikörperproblem</b> der <a href="Himmelsmechanik" title="Himmelsmechanik">Himmelsmechanik</a> besteht darin, eine Lösung (Vorhersage) für den Bahnverlauf dreier Körper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Anziehung (<a href="Newtonsches_Gravitationsgesetz" title="Newtonsches Gravitationsgesetz">Newtonsches Gravitationsgesetz</a>) zu finden. Um quantitative Resultate zu erlangen, muss es im allgemeinen Fall bislang <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerisch</a> gelöst werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematisch-Historisches">Mathematisch-Historisches</h2></div>

<p>Das Dreikörperproblem galt seit den Entdeckungen von <a href="Johannes_Kepler" title="Johannes Kepler">Johannes Kepler</a> und <a href="Nikolaus_Kopernikus" title="Nikolaus Kopernikus">Nikolaus Kopernikus</a> als eines der schwierigsten mathematischen Probleme, mit dem sich im Laufe der Jahrhunderte viele bekannte Mathematiker wie <a href="Alexis-Claude_Clairaut" title="Alexis-Claude Clairaut">Alexis-Claude Clairaut</a>, <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>, <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a>, <a href="Thorvald_Nicolai_Thiele" title="Thorvald Nicolai Thiele">Thorvald Nicolai Thiele</a>, <a href="George_William_Hill" title="George William Hill">George William Hill</a> und <a href="Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a> beschäftigten. Im allgemeinen Fall erfolgt die Bewegung <a href="Chaosforschung" title="Chaosforschung">chaotisch</a> und kann nur <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerisch</a> berechnet werden.

</p><p>Die beiden Grafiken zeigen ein Beispiel für eine Simulationsrechnung. In kleinen Zeitintervallschritten werden die angreifenden Gravitationskräfte und daraus die Verschiebung berechnet. Selbst bei identischen Ausgangsbedingungen erhält man völlig verschiedene Prognosen, wenn die Länge der Zeitintervalle variiert.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Sonderfall">Sonderfall</h2></div>

<p>Den Spezialfall, dass einer der drei Körper eine verschwindend kleine Masse hat und seine Wirkung auf die beiden anderen vernachlässigt werden kann, bezeichnet man als <b>eingeschränktes Dreikörperproblem.</b>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeine_Aussagen">Allgemeine Aussagen</h2></div>

<p>Das <a href="Zweik%C3%B6rperproblem" title="Zweikörperproblem">Zweikörperproblem</a> ist durch die <a href="Keplersche_Gesetze" title="Keplersche Gesetze">Kepler’schen Gesetze</a> <a href="Gleichung#Analytische_Lösung" title="Gleichung">analytisch</a> lösbar. Dagegen sind die Integrale im Fall von mehr als zwei <a href="Himmelsk%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Himmelskörper">Himmelskörpern</a> nicht mehr <a href="Algebraische_Integration" title="Algebraische Integration">algebraisch integrierbar</a>,<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> also nicht mehr mit <a href="Elementare_Funktion" title="Elementare Funktion">elementaren Funktionen</a> darstellbar. <a href="Karl_Frithiof_Sundman" class="mw-redirect" title="Karl Frithiof Sundman">Karl Frithiof Sundman</a> konnte Anfang des 20. Jahrhunderts als Erster eine analytische Lösung des Dreikörperproblems in Form einer <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">konvergenten</a> <a href="Potenzreihe" title="Potenzreihe">Potenzreihe</a> angeben, unter der Annahme, dass der Gesamt<a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">drehimpuls</a> des Systems nicht verschwindet und es deshalb nicht zu einem Dreierstoß kommt, bei dem der Abstand aller drei Körper Null beträgt. Für praktische Berechnungen ist Sundmans Lösung allerdings nicht brauchbar, da bei der Summe mindestens 10 hoch 8.000.000 Terme berücksichtigt werden müssten, um eine hinreichende Genauigkeit zu erzielen.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Die <a href="Stabilit%C3%A4t_(Numerik)" title="Stabilität (Numerik)">Stabilität</a> eines Dreikörpersystems wird durch das <a href="Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem" title="Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem">Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem</a> beschrieben.

</p><p>Näherungs- oder exakte Lösungen sind in manchen Fällen möglich:

</p>

<ul><li>Wenn die <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> eines der Himmelskörper klein ist, dann löst man das Dreikörperproblem <a href="Iteration" title="Iteration">iterativ</a>, heutzutage mit <a href="Computer" title="Computer">Computern</a>, oder berechnet <a href="Bahnst%C3%B6rung" title="Bahnstörung">Bahnstörungen</a>, die der kleinste (leichteste) Körper durch die größeren (schwereren) erleidet.</li>

<li>Exakt lösbar ist der schon erwähnte Sonderfall des Gleichgewichts der Anziehungskraft zweier großer (schwerer) Körper auf einen verschwindend kleinen (leichten) Körper (unter Berücksichtigung der im sich drehenden Bezugssystem auftretenden <a href="Tr%C3%A4gheitskraft" title="Trägheitskraft">Scheinkräfte</a>) in den <a href="Lagrange-Punkte" title="Lagrange-Punkte">Lagrange-Punkten</a> L1 bis L5. Der innere Punkt L1 wird beispielsweise in der <a href="Raumfahrt" title="Raumfahrt">Raumfahrt</a> zur <a href="Sonnenforschung" title="Sonnenforschung">Sonnenforschung</a> verwendet. Das Sonnenobservatorium <a href="Solar_and_Heliospheric_Observatory" title="Solar and Heliospheric Observatory">SOHO</a> befindet sich dort. Das Infrarot-Teleskop <a href="James-Webb-Weltraumteleskop" title="James-Webb-Weltraumteleskop">JWST</a> von <a href="NASA" title="NASA">NASA</a>, <a href="Europ%C3%A4ische_Weltraumorganisation" title="Europäische Weltraumorganisation">ESA</a> und <a href="Canadian_Space_Agency" title="Canadian Space Agency">CSA</a> befindet sich auf einer Umlaufbahn um den Lagrange-Punkt L2.</li>

<li>Für den Fall dreier gleicher Massen gibt es eine Lösung, bei der die Objekte auf einer gemeinsamen Bahn, die die Form eines <a href="Unendlichzeichen" title="Unendlichzeichen">Unendlichzeichens</a> (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \infty }" loading="lazy"></span>) hat, hintereinander herlaufen.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerung">Verallgemeinerung</h2></div>

<p>Die Verallgemeinerung des Dreikörperproblems ist das <b>Mehrkörperproblem.</b> Allgemeine Mehrkörperprobleme behandelt man durch <i><a href="Mehrk%C3%B6rpersimulation" title="Mehrkörpersimulation">Mehrkörpersimulationen</a>.</i>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rezeption">Rezeption</h2></div>

<ul><li>Im <a href="Science-Fiction-Roman" class="mw-redirect" title="Science-Fiction-Roman">Science-Fiction-Roman</a> <i><a href="Die_drei_Sonnen" title="Die drei Sonnen">Die drei Sonnen</a></i> des chinesischen Autors <a href="Liu_Cixin" title="Liu Cixin">Cixin Liu</a> spielt das Dreikörperproblem eine entscheidende Rolle bei der Verständigung mit einer außerirdischen <a href="Zivilisation" title="Zivilisation">Zivilisation</a>.</li>

<li>In einem Kriminalroman der Mathematikerin <a href="Leila_Schneps" title="Leila Schneps">Leila Schneps</a> (unter dem Pseudonym <i>Catherine Shaw</i>) geht es um drei Menschenkörper: Mordopfer, die bei einem Wettbewerb zum Dreikörperproblem miteinander konkurrierten. Die Mathematik sei korrekt dargestellt, der viktorianische Sprachstil gewöhnungsbedürftig, urteilte ein Kritiker.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Tisserandparameter" title="Tisserandparameter">Tisserandparameter</a></li>

<li><a href="Hill-Sph%C3%A4re" title="Hill-Sphäre">Hill-Sphäre</a></li>

<li><a href="Sitnikov-Problem" title="Sitnikov-Problem">Sitnikov-Problem</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Victor_Szebehely" title="Victor Szebehely">Victor Szebehely</a>: <i>The theory of orbits: The Restricted Problem of Three Bodies</i>, Academic Press 1967</li>

<li>Richard Montgomery: <i>Das Dreikörper-Problem.</i> In: <i><a href="Spektrum_der_Wissenschaft" title="Spektrum der Wissenschaft">Spektrum der Wissenschaft</a>.</i> 2020, Heft 3, S. 12–19.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Three-body_problem?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Dreikörperproblem</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Das_Mehrk%C3%B6rperproblem_in_der_Astronomie" class="extiw external" title="b:Das Mehrkörperproblem in der Astronomie">Wikibooks: Das Mehrkörperproblem in der Astronomie</a></b> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<ul><li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://kappelhoff.wiwi.uni-wuppertal.de/fileadmin/kappelhoff/Downloads/Veroeffentlichungen/cckk.pdf">Chaos und Komplexitätstheorie.</a></i> (PDF; 31 kB).</li>

<li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.eberl.net/chaos/Sem/Krause/D_index.html">Numerische Berechnungen von Planetenbahnen.</a></i></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Nach einem Theorem von <a href="Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Poincaré</a>, das einen Satz von <a href="Heinrich_Bruns_(Mathematiker)" title="Heinrich Bruns (Mathematiker)">Bruns</a> verallgemeinert.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">June Barrow-Green: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086009001360">The dramatic episode of Sundman.</a></i> In: Abschnitt <i>9. The reception of Sundman’s work.</i><br><div class="Vorlage_Zitat" style="margin:1em 40px;">

<p>„In 1930 David Beloriszky […] calculated that if Sundman’s series were going to be used for astronomical observations then the computations would involve at least 10<sup>8,000,000</sup> terms!“

</p>

</blockquote>

</div></div></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Catherine Shaw: <i>The Three-Body Problem.</i> Allison & Busby, 2013, ISBN 0-749-01444-X (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=2jGKAgAAQBAJ">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).</span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4012974-3">4012974-3</a></span> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85135013">sh85135013</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2024-12-27" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Dreik%C3%B6rperproblem&oldid=251640272">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>